বৃত্ত সম্পর্কীয় উপপাদ্য

প্রমাণ কর যে, বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর উপর লম্ব।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা এবং D এই জ্যা-এর মধ্যবিন্দু। O ও D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, OD রেখা AB জ্যা-এর উপর লম্ব।

অঙ্কনঃ O ও A এবং O ও B যোগ করি।

প্রমাণঃ ΔOAD এবং ΔOBD-এ 
            OA = OB               [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং     OD = OD               [সাধারণ বাহু]
            AD = BD               [D, AB এর মধ্যবিন্দু]

∴          ΔOAD ≅ ΔOBD
∴          ∠ODA = ∠ODB
 যেহেতু কোণদ্বয় রৈখিক যুগল কোণ এবং তাদের পরিমাণ সমান,
সুতরাং  ∠ODA = ∠ODB = এক সমকোণ
অতএব,  OD ⊥ AB. (প্রমানিত)

প্রমাণ কর যে, বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, ABEFDC বৃত্তের কেন্দ্র O. AB, CD ও EF বৃত্তের সমান সমান তিনটি জ্যা যাদের মধ্যবিন্দুগুলো হলো M, N, P. প্রমাণ করতে হবে যে, M, N, P সমবৃত্ত।

অঙ্কনঃ O, M; O, N; O, P যোগ করি।

প্রমাণঃ M, AB এর মধ্যবিন্দু
তাহলে, OM হলো AB এর লম্ব দূরত্ব বা O থেকে AB এর দূরত্ব OM.
তাহলে,
O থেকে CD এর দূরত্ব ON.
O থেকে EF এর দূরত্ব OP.
এখন, সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
জ্যা AB=জ্যা CD=জ্যা EF [দেওয়া আছে]
∴OM=ON=OP
অতএব, M, N, P সমবৃত্ত।
সুতরাং জ্যাগুলোর মধ্যবিন্দু কেন্দ্র হতে সমান দূরে অবস্থিত (প্রমাণিত)।

প্রমাণ কর যে, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোন জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা এবং কেন্দ্র O থেকে এই জ্যা পর্যন্ত OD লম্ব রেখাংশ । প্রমাণ করতে হবে যে, OD রেখা AB জ্যা-কে D বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে, অর্থাৎ AD = BD

অঙ্কনঃ O ও A এবং O ও B যোগ করি।

প্রমাণঃ OD ⊥ AB হওয়ায়
∠ODA = ∠ODB = এক সমকোণ।
অতএব, ΔODA ও ΔODB উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ। এখন, ΔODA ও ΔODB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে,

অতিভুজ OA = অতিভুজ OB  [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং OD = OD       [সাধারণ বাহু]
∴ ΔODA ≅ ΔODB
অতএব, AD = BD (প্রমানিত)

প্রমাণ কর যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB তার ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যে কোন একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD.

অঙ্কনঃ O, C এবং O, D যোগ করি।

প্রমাণঃ OA = OB = OC = OD    [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] আমরা জানি, ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখন, ΔOCD-এ
OC + OD > CD
বা, OA + OB > CD
           [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে, OC = OA = OB = OD]
অর্থাৎ AB > CD
অর্থাৎ AB ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমানিত)

কোনো বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুইটি A বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, AB=AC।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC একটি বৃত্ত। এর OA একটি ব্যাসার্ধ এবং AB ও AC এর দুইটি জ্যা। উৎপন্ন ∠OAB=∠OAC হলে প্রমাণ কর যে, AB=AC.

অঙ্কনঃ O, B ও O, C যোগ করি।

প্রমাণঃ△AOB ও △AOC-এর মধ্যে,
BO=OC [এরা একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AO সাধারন বাহু
∠OAB=∠OAC [শর্তমতে]
∴△AOB ≅ △AOC
তাহলে, AB=AC (প্রমাণিত)

বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী ।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ও CD বৃত্তের দুটি সমান জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, O থেকে AB এবং CD জ্যাদ্বয় সমদূরবর্তী ।

অঙ্কনঃ O থেকে AB ও CD জ্যা এর উপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব রেখাংশ আঁকি। O, A এবং O, C যোগ করি।

প্রমাণঃ যেহেতু কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোন জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং OE ⊥ AB ও OF ⊥ CD.
সুতরাং, AE = BE এবং CF = DF.
 ∴ AE = ½ AB এবং CF = ½ CD
কিন্তু AB = CD   [ কল্পনা ]
∴ AE = CF
এখন ADAE এবং AOCF সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে, অতিভুজ OA = অতিভুজ OC [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং AB = CF.
∴  ΔOAE ≅ ΔOCF 
∴ OE = OF.
কিন্তু OE এবং OF কেন্দ্র O থেকে যথাক্রমে AB জ্যা এবং CD জ্যা এর দূরত্ব। সুতরাং AB এবং CD জ্যাদ্বয় বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী । (প্রমানিত)

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান ।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ও CD দুটি জ্যা। O থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OE 3 OF লম্ব এবং OE = OF.

অঙ্কনঃ O, A এবং O, C যোগ করি।

প্রমাণঃ যেহেতু OE ⊥ AB এবং OF ⊥ CD.
সুতরাং, ∠OEA = ∠OFC = এক সমকোণ ।
এখন, AOAE এবং AOCF সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,
অতিভুজ OA = অতিভুজ OC   [ উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
এবং OE = OF      [ কল্পনা ]
∴  ΔOAE = ΔOCF
∴  AE = CF
কিন্তু কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোন জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴  AE = ½ AB এবং CF = ½ CD.
সুতরাং, ½ AB = ½ CD

অর্থাৎ AB = CD. (প্রমানিত)

দেখাও যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতম।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, ABDC বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AB ও CD দুটি জ্যা যেখানে AB>CD. OE ও OF যথাক্রমে AB ও CD এর উপর লম্ব যা কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব নির্দেশ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OE<OF.

অঙ্কনঃ O, A এবং O, C যোগ করি।

প্রমাণঃ OE ⊥ AB
AE = EB  [বৃত্তের কেন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন অন্য জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে]
বা,  AE = ½ AB…..(i)
একই শর্তে,
CF = ½ CD…..(ii)
প্রশ্নপমতে, AB>CD
তাহলে, AE>CF [(i), (ii) হতে]
            বা, AE²>CF²................(iii)

এখন, △AEO এ
AO²=AE²+EO²………….(iv)

△COF এ
OC²=CF²+OF²…………..(v)

এখন, AO=OC [এরা একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ (iv) ও (v) হতে,
AE²+EO²= CF²+OF²

বা,  AE²-CF²=OF²-OE²

(iii) হতে, AE²>CF²

বা,  AE²-CF²>০

বা,  OF²-OE²>০

বা,  OF²>OE²

বা,  OF>OE
বা,  OE<OF (প্রমানিত)

দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির জ্যা AB অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC=BD।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত ABF ও CDH। প্রথম বৃত্তের জ্যা AB অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC=BD।

অঙ্কনঃ OE⊥AB আঁকি।

প্রমাণঃ বৃত্তের কেন্দ্র O এবং O হতে AB বা CD এর উপর OE লম্ব,
তাহলে, বৃত্ত ABF এর ক্ষেত্রে, AE=EB….(i)
এবং, বৃত্ত CDH এর ক্ষেত্রে, CE=ED….(ii) [ বৃত্তের ক্রন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে]
(i) ও (ii) করে পাই,
AE-CE=EB-ED
বা, AC=BD (প্রমাণিত)

কোন বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।

বিশেষ নির্বচনঃ মনেকরি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু গুলো দিয়ে অধিকান্ত ABC একটি বৃত্ত। O তার কেন্দ্র। প্রমাণ করতে হবে যে, O, ABC ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু।

প্রমাণঃ ∠ABC= এক সমকোণ।
সুতরাং সমকোণী △ABC এর AC অতিভুজ।
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
সুতরাং ∠ABC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এবং AC ঐ বৃত্তের ব্যাস।
অতএব বৃত্তের কেন্দ্র O, ব্যাস AC এর উপর অবস্থিত।
 ∴OA=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে]
 ∴O, AC এর মধ্যবিন্দু (প্রমানিত)

প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দু N ও M। প্রমাণ করতে হবে যে MN কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব।

অঙ্কনঃ O, N; O, M যোগ করি।

প্রমাণঃ O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু N
∴ ON⊥AB [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব]
একই শর্তে, OM⊥CD
এখন, AB।।CD; ON এবং OM যথাক্রমে AB ও CD এর উপর লম্ব
সুতরাং ON, OM একই সরলরেখায় অবস্থিত।
অর্থাৎ, NM কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব (প্রমাণিত)

বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, এদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ACBD বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান জ্যা। তারা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AE=CE এবং ED=EB.

অঙ্কনঃ কেন্দ্র O থেকে AB ও CD এর উপর OP ও OQ লম্ব আঁকি এবং O, E যোগ করি।

প্রমাণঃ প্রদত্ত বৃত্তে, OP⊥AB.
∴AP=PB [বৃত্তের কেন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন অন্য জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে]
বা, AP=½AB

একই ভাবে, QD=QC
            বা, QC=½CD

যেহেতু AB=DC, সেহেতু, QC=AP…..(i)
এখন,
△EQO ও △EPO এর মধ্যে,
OQ=OP [সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরে অবস্থিত]
OE সাধারন বাহু
∠EQO=∠EPO [অঙ্কন অনুসারে]
∴△EQO ≅ △EPO
∴QE=EP……….(ii)
(i) ও (ii) করে পাই,
OC-QE=AP-EP
বা, AE=CE
বা, AB=CD-ED
বা, -EB=-ED [AB=CD]
বা, EB=ED
তাহলে, AE=CE এবং ED=EB (প্রমাণিত)